PERBEDAAN GEOMETRI EUCLID DENGAN GEOMETRI TAXICAB SERTA APLIKASINYA

Ririn Dwi Agustin¹⁾   

  Eric Dwi Putra²⁾

email: ririndwiagustin85@gmail.com

 ric_chaenk@yahoo.co.id

Abstrak. Pada geometri taxicab, sebarang dua titik dihubungkan secara garis lurus horizontal atau vertikal atau berbelok dengan membentuk sudut siku-siku, hal ini seperti yang dialamai pengemudi taksi yang melewati blok-blok di dalam kota. Pengemudi taxi harus bergerak lurus atau belok kiri atau kanan (dengan sudut siku-siku). Oleh karena itu, geometri ini dinamakan geometri taxicab. Geometri Taxicab adalah geometri non-Euclid yang dapat diakses dalam bentuk konkrit dan hanya satu aksioma yang berbeda dari geometri Euclid. Titik dan  garis pada geometri taxicab ini sama dengan titik dan garis pada Geometri Euclid. Sudutnya juga diukur dengan cara yang sama seperti di Geometri Euclid. Hanya saja fungsi jarak yang berbeda. Pada geometri Euclid jarak antara dua titik P(x₁, y₁) dan Q(x₂, y₂) didefinisikan dengan :

Jarak minimum  antara dua titik adalah garis lurus pada geometri Euclid. Pada geometri Taxicab ada banyak kemungkinan jalan yang semua sama-sama minimum pada dua titik. Pada geometri Taxicab jarak antara dua titik P dan Q adalah panjang jalur terpendek dari P ke Q yang terdiri dari segmen garis paralel dan tegak lurus terhadap sumbu-X dengan menggunakan rumus:

Dengan kata lain, jarak didefinisikan sebagai jumlah dari jarak horizontal dan vertikal dari dua titik. Ini adalah jarak minimum pada geometri Taxicab yang akan diperlukan dalam melakukan perjalanan untuk mencapai titik Q dari titik P, jika semua jalan-jalan hanya berorientasi horizontal dan vertikal.

     Kata Kunci:  Geometri Euclid, Geometri Taxicab, Aplikasinya

PENDAHULUAN

Pada abad ke-19, diperkenalkan geometri yang berbeda dengan geometri euclid, oleh matematikawan Jerman yaitu Hermann Minkowsky, Ia melihat keadaan nyata di Manhattan, Amerika Utara merupakan suatu tipe kota dengan banyaknya gedung-gedung perkantoran dan jalan-jalan diantara gedung tersebut memiliki pola menyerupai grid. Awalnya geometri ini dikenal dengan Minkowsky geometrie atau City-Block Manhattan.

Yang membuat masalah ini menarik adalah bahwa keinginan menyelesaikannya bukan sebagai "crow flies", tetapi kita harus tetap bisa melewati di jalan-jalan kota walaupun dengan berbagai hambatan. Ini berarti rumus jarak yang kita menyesuaikan dalam menggunakan dalam geometri Euclidean tidak akan berfungsi. Untungnya ada geometri Non Euclidean diatur untuk tepat jenis masalah ini, yang disebut geometri taxicab. Sistem geometri ini dimodelkan oleh taksi yang berada di sebuah kota yang jalannya membentuk blok unit persegi Geometri taxicab sangat berbeda dari geometri Euclid yang sudah biasa kita gunakan. Pada geometri taxicab, sebarang dua titik dihubungkan secara garis lurus horizontal atau vertical atau berbelok dengan membentuk sudut siku-siku, seperti pengemudi taksi pada kisi-kisi kota. Pengemudi hanya dapat mengikuti suatu jalan. Dia harus bergerak lurus atau belok kiri atau kanan (dengan sudut siku-siku).

PEMBAHASAN

Dalam tulisan ini untuk memahami konsep, maka perlu mengubah paradigma dan persepsi yang secara luas dikenal dalam geometri. Hal ini karena matrik biasa pada geometri Euclid digantikan oleh matrik baru dimana jarak antara dua titik adalah jumlah dari nilai mutlak perbedaan koordinatnya.

Dengan kata lain, jarak didefinisikan sebagai jumlah dari jarak horizontal dan vertikal dari dua titik. Ini adalah jarak minimum pada geometri Taxicab yang akan diperlukan dalam melakukan perjalanan untuk mencapai titik Q dari titik P, jika semua jalan-jalan hanya berorientasi horizontal dan vertikal.

Sebagai contoh, tentukan jarak antara titik  A (-2,3) dan B (3,-3) dalam geometri Euclid dan geometri Taxicab.

Gambar 1

Dalam Geometri Euclide, jarak antara dua titik A dan B dapat diturunkan berdasarkan Teorema Pythagoras: d (A, B) =   Pada contoh di sebelah kiri, formula ini menghasilkan sisi miring berukuran 7,81 cm, berdasarkan hasil dari                                 
            Namun, dalam Geometri Taxicab, rumus jarak didefinisikan kembali menurut jarak Minkowski sebagai: d (A, B) = | xA-xB | + | yA-YB |. Dengan demikian, jarak Taxicab dalam contoh ini adalah 11 cm, berdasarkan 6 + 5.

Dengan kata lain, jarak didefinisikan sebagai jumlah dari jarak horizontal dan vertikal dari dua poin. Ini adalah jarak minimum taksi akan perlu melakukan perjalanan untuk mencapai titik B dari titik A, jika semua jalan-jalan hanya berorientasi horizontal dan vertical.

Secara umum, jarak pada geometri Euclid dan Taxicab sama yaitu ketika kedua titik terletak di sepanjang garis horizontal atau vertikal (Gambar 3).

Gambar 2: jarak geometri Euclid dan Taxicab sama ketika kedua titik terletak di sepanjang garis horizontal atau vertikal

APLIKASI GEOMETRI TAXICAB

Aplikasi-aplikasi dalam geometri taxicab banyak sekali terutama dalam penerapan kehidupan sehari-hari. Banyak sekali permasalahan yang terjadi di suatu saat yang tanpa kita sadari kita sudah menggunakan teorema di geometri taxicab. Berikut adalah beberapa contoh aplikasi yang diterapkan dalam kehidupan sehari-hari:

Contoh 1

Seorang pengirim dari Departemen Kepolisian Kota Taxicab menerima laporan telah terjadi sebuah kecelakaan di koordinat X(-1,4). Terdapat dua orang polisi yang sedang bertugas di sekitar kecelakaan, yaitu mobil C (2,1) dan mobil D(-1,-1). Manakah mobil yang harus dikirim?

Permasalahan tersebut disajikan dalam grafik berikut:

Gambar 3

Tentu saja mobil-mobil polisi tersebut tidak dapat berkendara menembus pemukiman penduduk, sehingga mereka harus berkendara mengikuti jalan. Geometri Taxicab akan menjadi piliham yang terbaik untuk menyelesaikan masalah ini. Satu cara sederhana yang harus dilakukan oleh si pengirim tersebut adalah membandingkan jarak antara masing-masing mobil polisi terhadap tempat kecelakaan dalam geometri Taxicab.

Jarak antara tempat kecelakaan X dan mobil C adalah:

d(X,C) = [(-1,4),(2,1)]

= |2-(-1)| - |1-4|

= |3| + |-3|

= 3 + 3

= 6

Jarak antara tempat kecelakaan X dan mobil D adalah:

d(X,D) = [(-1,4),(-1,-1)]

= |-1-(-1)| + |-1-4|

= |0| + |-5|

= 0 + 5

= 5

Maka, kita dapat melihat dengan jelas bahwa mobil D lebih dekat satu blok dengan tempat kecelekaan.

Contoh 2

Terdapat tiga buah SMP negeri di kota Taxicab, yaitu SMP negeri A pada kordinat (-4,3), SMP negeri B pada koordinat (2,1), dan SMP negeri C pada koordinat (-1,-6).  Gambarlah garis batas kawasan (rayon) sekolah sedemikian hingga setiap siswa di kota Taxicab mendatangi SMP negeri yang terdekat dari rumahnya.

Hal pertama yang harus dilakukan  adalah membuat batas antara masing-masing pasangan sekolah. Karena SMP negeri A dan SMP negeri B terpisah 8 blok, lokasi titik pertengahan antara keduanya adalah garis biru.  Karena SMP negeri A dan SMP negeri C terpisah 12 blok, maka lokasi titik pertengahan antara keduanya adalah garis hitam. Dan karena SMP negeri B dan SMP negeri C terpisah 10 blok, maka lokasi titik pertengahan antara keduanya adalah garis merah.

Garis pembagi antara tiga sekolah tersebut ditentukan dengan bagian tebal pada garis-garis tersebut. Sehingga, SMP negeri B melayani mereka yang tinggal di area berwarna kuning, SMP negeri C melayani mereka yang tinggal di area berwarna abu-abu, dan SMP negeri A melayani mereka yang tinggal di area berwarna biru.

 

Contoh 3

Masalah lain yang dinyatkan oleh Krause Ajax Industrial Corporation ingin membangun sebuah pabrik di Kota Ideal di lokasi di mana jumlah jarak yang dari stasiun kereta api C = (-5, -3) dan bandara D = (5, -1) adalah paling banyak 16 blok. Untuk tujuan kontrol suara peraturan kota melarang lokasi pabrik apapun dalam waktu 3 blok dari L perpustakaan umum = (-4, 2). Dimana bisa Ajax membangun? Solusi untuk masalah ini diuraikan oleh tokoh berlapis tebal diuraikan di bagian kanan atas. Ini jelas merupakan solusi elips dengan kerut melibatkan perpustakaan. Menariknya, dan disarankan oleh buku, kita menggunakan lingkaran Euclidean bukan lingkaran Taxicab untuk Perpustakaan cut-out. Kenapa? Suara tidak bepergian jalan garis miring. Oleh karena itu, 3 blok Euclidean cut-out yang lebih besar dari Taxicab potensial cut-out (lihat garis putus-putus) adalah tepat.

Contoh 4

Jerry pindah ke kota Taxicab dan bekerja di distillery, D (4,-2). Untuk berangkat kerja, dia harus berjalan melewati blok-blok kota menuju tempat kerja. Karena kondisi jantungnya, jerry tidak kuat untuk berjalan lebih dari 5 blok dari tempat kerja. Pada gambar, arsir semua tempat yang dapat menjadi tempat tinggal jerry.

D

Contoh 5

Pemikiran kedua, Jerry ingin tinggal dekat dengan gereja pada C(0,1). Dia mencari apartemen A sedemikian hingga jarak dari A ke C di tambah jarak dari A ke D paling banyak 9 blok . arsir semua tempat yang dapat menjadi tempat tinggal Jerry.

D   C

Contoh 6

Taxicab treasure hunt game

Objek pada treasure hunt game adalah untuk mencari lokasi treasure yang tersembunyi pada suatu tempat di mythical city. Berikut sketsanya.  

Pertama, pemain harus menentukan titik awal, misalkan di Third Avenue dan DogwoodStreet. Kemudian permainan akan memberi petunjuk pada pemain jarak titik awal tadi dengan treasure. Pada contoh ini, jarak 3 blok. Dengan demikian pemain mengetahui jawabannya terdiri dari titik – titik pada lingkaran taxicab 3 blok dari Third Avenue dan Dogwood Street (lihat Gambar 18).

Gambar 18

Kemudian pemain memilih Fifth Avenue dan Elm Street (sebuah titik sepanjang lingkaran taxicab sebelumnya). Permainan memberikan info bahwa pemain berada 4 blok dari treasure. Melalui lingkaran kedua yang garisnya lebih tebal sekarang posisinya 4 blok dari lokasi baru permainan (lihat Gambar 19).

Gambar 19

Solusinya merupakan perpotongan dari 2 lingkaran. Untuk itu, solusi yang mungkin adalah second Avenue dan Fir Street, First Avenue, dan Elm Street, atau FourtAvenue, dan Birch Street.

Pemain kemudian memilih Fourt Avenue dan Fir Street, dan menemukan jauh 2 blok. Pemain menggambar lingkaran taxicab ketiga (garis yang lebih tipis) 2 blok dari lokasi baru pemain dan menemukan solusinya yaitu First Avenue, dan Elm Street, perpotongan 3 lingkaran.

SIMPULAN

Dalam Geometri Euclidean, jarak antara dua titik A dan B dapat diturunkan berdasarkan Teorema Pythagoras: d (A, B) =    Namun, dalam Geometri Taxicab, rumus jarak didefinisikan kembali menurut jarak Minkowski sebagai:

d (A, B) = | xA-xB | + | yA-YB |. Geometri taxicab bisa dibuat alternatif jika geometri euclid tidak bisa digunakan ataupun sebaliknya. Aplikasi-aplikasi dalam geometri taxicab sangat berguna dalam kehidupan sehari-hari.

DAFTAR RUJUKAN

http://cgm.cs.mcgill.ca/~godfried/teaching/projects.pr.98/tesson/taxi/what.html

http://digilander.libero.it/russogroup/Taxicab.ppt

http://www.mathematische-basteleien.de/taxicabgeometry.html

http://taxicabgeometry.net

http://jwilson.coe.uga.edu/EMAT6680Fa06/Sexton/GeoFinalProject/Taxicab/taxi.html

Oracle thinkquest. Taxicab Geometry. http://library.thinkquest.org/06aug/02430/

Thompson, Kevin and Tevian Dray. Taxicab Angles and Trigonometry. http://www.physics.orst.edu/~tevian/taxicab/html/

Wikipedia. http://en.wikipedia.org/wiki/Karl_Menger

Wikipedia.http://en.wikipedia.org/wiki/Taxicab_geometry